招生专业与代码：070101基础数学、070102计算数学、070103概率论与数理统计、070104应用数学、070105运筹学与控制论

考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。

除非特别声明,以下题目涉及的数都在复数域中.

1.（20分）设分别在有理数域,实数域,复数域上把分解为不可约的多项式的乘积.

2.（10分）计算行列式.

3.(20分)设都是阶方阵,且存在非零复数,使得,

(1)证明:.

(2)设,当时,求.

4.(20分)含参数的方程组如下

，当参数满足什么条件时,该方程组有解.

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5.(20分)在3维欧氏空间(通常的內积)中建立了右手坐标系,定义旋转变换:旋转轴为起点在原点的向量,旋转角为(逆时针方向).即把全体起点在原点的向量绕轴转动.

(1)求在的标准基下的矩阵.

(2)求的全部不变子空间.

6.(20分)设矩阵，其中为任意数,求的Jordan标准形.

7.(20分)设同为阶方阵.

(1)证明:与相似.

(2)证明:与有相同的特征多项式.

8.(20分)线性空间上一个线性变换称为半单的,如果对的每个不变子空间,都存在的不变子空间使得

证明:若是线性空间上的半单变换,是的一个不变子空间,则限制在上也是半单的.

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