招生专业与代码：网络空间安全（0839）

考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。

一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）。

1.设是两个有限集合，则到的映射有______个。

2.在5次对称群中,(134)(135)=。

3.8阶循环群的生成元有个。

4.设是35阶循环群，写出的非平凡子群_______________________。

5.在多项式环中，__________。

二、判断题（在题后的括号内正确的画“√”，错误的画“×”，填错或未填者，该小题无分。共5小题，每小题4分，共20分）。

1.非交换群的阶至少为6。()

2.每个群必存在非平凡的子群。()

3.整数环的自同构只有恒等自同构。()

4.域的有限可分扩张必为单扩张。()

5.对于任何正整数，含有个元素的有限域都存在。()

三、问答题（共2小题，每小题15分，共30分）。

1．(15分)分别写出群、环和域的定义，并各举一个例子。

2．(15分)构造一个4元域，并指出它的加法和乘法运算规则。

四、证明题（共2小题，每小题15分，共30分）。

1.(15分)设是正整数，证明：满足方程的复数的集合在通常乘法下是一个阶循环群。

2.(15分)决定环的单位群，并证明此环为整环但不是域。

五、计算题（共3小题，第1、2小题15分，第3小题20分，共50分）。

1．(15分)设，运用广义欧几里德除法求整数使得。

2.(15分)设是有理数域上多项式的一个实根。

(1)证明是在上的一组基；(10分)

(2)将表示成的-线性组合。(5分)

3．(20分，每小题10分)

(1)解如下含参数的同余方程组:

(2)当时，求出上述同余方程组的最小正整数解。

考试科目：抽象代数共2页，第2页