试题提示：本试题仅供参考，如需真题原题请联系研究生院。
一、考试科目题型与分值
本试卷满分 150 分，考试时长 180 分钟，涵盖概率论、数理统计、多元统计分析三大板块，题型及分值分布如下：
- 证明题（共 2 题，每题 20 分，总计 40 分）
- 计算题（共 3 题，每题 25 分，总计 75 分）
- 分析题（共 1 题，每题 35 分，总计 35 分）
二、2025 年考研真题
（一）证明题（每题 20 分，共 40 分）
- 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从正态分布，X~N (μ₁,σ₁²)，Y~N (μ₂,σ₂²)。证明：Z=aX+bY（a,b 为非零常数）服从正态分布，并求 Z 的期望与方差。
- 设 X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体 X~U (0,θ) 的样本（θ>0），证明：θ 的矩估计量\(\hat{\theta}_1=2\bar{X}\)与最大似然估计量\(\hat{\theta}_2=\max(X₁,X₂,…,Xₙ)\)均为无偏估计量，并比较二者的有效性（即比较方差大小）。
（二）计算题（每题 25 分，共 75 分）
- 已知二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度函数为：
\(f(x,y)=\begin{cases}6xy^2, & 0<x<1,0<y<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)
要求计算：
（1）X 与 Y 的边缘概率密度函数\(f_X(x)\)与\(f_Y(y)\)，并判断 X 与 Y 是否独立（10 分）；
（2）Cov (X,Y) 与相关系数 ρ_XY（8 分）；
（3）P (X+Y<1)（7 分）。
- 设总体 X 的概率密度函数为\(f(x;\theta)=\begin{cases}\theta x^{\theta-1}, & 0<x<1,\theta>0 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}\)，X₁,X₂,…,Xₙ为样本。
（1）求 θ 的最大似然估计量\(\hat{\theta}_{ML}\)（12 分）；
（2）验证\(\hat{\theta}_{ML}\)是否为相合估计量（13 分）。
- 某研究团队对 3 个地区的居民人均可支配收入（单位：万元）进行抽样调查，每个地区抽取 5 个样本，数据如下：
地区 A：3.2, 3.5, 3.6, 3.8, 4.0
地区 B：2.8, 3.0, 3.1, 3.3, 3.5
地区 C：2.5, 2.6, 2.7, 2.9, 3.0
（1）在显著性水平 α=0.05 下，检验 3 个地区居民人均可支配收入是否存在显著差异（F₀.₀₅(2,12)=3.89）（15 分）；
（2）若存在差异，用 LSD 法进行多重比较（t₀.₀₂₅(12)=2.179）（10 分）。
（三）分析题（每题 35 分，共 35 分）
某电商平台收集 100 名用户的 3 项指标：日均浏览时长（X₁，单位：分钟）、月消费金额（X₂，单位：百元）、用户满意度评分（Y，单位：分，1-10 分），拟通过多元统计方法分析指标间关系。
（1）若要研究 X₁,X₂对 Y 的线性影响，应建立何种回归模型？说明模型的基本假设与参数估计方法（15 分）；
（2）若发现 X₁与 X₂的相关系数为 0.85，会对回归分析产生何种影响？如何解决这一问题（10 分）；
（3）若要综合 X₁,X₂评价用户 “活跃度”，再分析活跃度与 Y 的关系，可采用何种多元统计方法？简述分析步骤（10 分）。
三、参考答案
（一）证明题
- 证明：
- 独立正态变量的线性组合仍为正态分布：因 X,Y 独立且均服从正态分布，其特征函数分别为\(\phi_X(t)=e^{i\mu_1 t-\frac{1}{2}\sigma_1^2 t^2}\)，\(\phi_Y(t)=e^{i\mu_2 t-\frac{1}{2}\sigma_2^2 t^2}\)（5 分）；
- Z 的特征函数\(\phi_Z(t)=E(e^{it(aX+bY)})=E(e^{itaX})E(e^{itbY})=\phi_X(at)\phi_Y(bt)=e^{i(a\mu_1+b\mu_2)t-\frac{1}{2}(a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)t^2}\)，符合正态分布特征函数形式（10 分）；
- 期望\(E(Z)=aE(X)+bE(Y)=a\mu_1+b\mu_2\)，方差\(D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)=a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2\)（5 分）。
- 证明：
- 无偏性：\(E(\hat{\theta}_1)=2E(\bar{X})=2×\frac{\theta}{2}=\theta\)；\(E(\hat{\theta}_2)=\int_0^\theta x×\frac{nx^{n-1}}{\theta^n}dx=\frac{n}{\theta^n}×\frac{\theta^{n+1}}{n+1}=\frac{n}{n+1}\theta≠\theta\)（此处修正：原最大似然估计量\(\hat{\theta}_2=\max X_i\)为有偏估计，无偏修正量为\(\hat{\theta}_2'=\frac{n+1}{n}\max X_i\)，\(E(\hat{\theta}_2')=\theta\)）（10 分）；
- 有效性：\(D(\hat{\theta}_1)=4×\frac{D(X)}{n}=4×\frac{\theta^2}{12n}=\frac{\theta^2}{3n}\)；\(D(\hat{\theta}_2')=(\frac{n+1}{n})^2×[\frac{n\theta^2}{(n+2)(n+1)^2}]=\frac{\theta^2}{n(n+2)}\)，当 n≥1 时，\(\frac{\theta^2}{n(n+2)}<\frac{\theta^2}{3n}\)，故\(\hat{\theta}_2'\)更有效（10 分）。
（二）计算题
- （1）\(f_X(x)=\int_0^1 6xy^2dy=2x\)（0<x<1）；\(f_Y(y)=\int_0^1 6xy^2dx=3y^2\)（0<y<1）；因\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)，故 X 与 Y 独立（10 分）；
（2）Cov (X,Y)=E (XY)-E (X) E (Y)=0（因独立），ρ_XY=0（8 分）；
（3）\(P(X+Y<1)=\int_0^1\int_0^{1-x}6xy^2dydx=\int_0^1 2x(1-x)^3dx=\frac{1}{20}\)（7 分）。
- （1）似然函数\(L(\theta)=\prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1}=\theta^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{\theta-1}\)，取对数\(\ln L=n\ln\theta+(\theta-1)\sum\ln x_i\)，求导得\(\hat{\theta}_{ML}=-\frac{n}{\sum\ln x_i}\)（12 分）；
（2）由大数定律，\(\frac{1}{n}\sum\ln x_i\stackrel{P}{\to}E(\ln X)=-\frac{1}{\theta}\)，故\(\hat{\theta}_{ML}\stackrel{P}{\to}\theta\)，为相合估计（13 分）。
- （1）方差分析：总平方和 SST=1.86，组间平方和 SSA=1.58，组内平方和 SSE=0.28，F=SSA/(2)/SSE/(12)= (0.79)/(0.023)=34.35>3.89，拒绝原假设，存在显著差异（15 分）；
（2）LSD=2.179×√(0.023×2/5)=0.23，地区 A 与 B、A 与 C 均值差均大于 0.23，差异显著；B 与 C 均值差 0.4<0.23，差异不显著（10 分）。
（三）分析题
- 建立多元线性回归模型\(\hat{Y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1X_1+\hat{\beta}_2X_2\)（5 分）；基本假设：线性性、误差项正态性、同方差、无自相关、自变量无多重共线性（5 分）；参数估计用普通最小二乘法（OLS）（5 分）。
- X₁与 X₂高度相关（r=0.85），导致多重共线性，使参数估计量方差增大、显著性检验失效（5 分）；解决方法：剔除其中一个变量、主成分回归、岭回归（5 分）。
- 采用主成分分析（PCA）（4 分）；步骤：对 X₁,X₂标准化，计算协方差矩阵与特征值、特征向量，提取第一主成分作为 “活跃度” 指标，建立活跃度与 Y 的回归模型分析关系（6 分）。
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