考研招生人数、考试科目

中央民族大学硕士研究生入学考试初试科目考试大纲
科目代码： 850 科目名称： 数学（微积分、线性代数）

Ⅰ.考查目标
数学综合考试涵盖微积分学、线性代数两门基础课程。要求考生掌握上述学科的基础知
识、 基本概念、 基本方法，能够综合运用所学知识去分析和解决一些简单的现实问题。
Ⅱ.考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
本试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试
三、试卷内容结构
全部为必答题。其中微积分 90 分，线性代数 60 分
四、试卷题型结构
单项选择题 9 个共 27 分， 其中微积分 6 个，线性代数 3 个， 每个 3 分；
填空题 11 个共 33 分， 其中微积分 7 个，线性代数 4 个， 每空 3 分；
计算题 5 个共 60 分，其中微积分 3 个， 线性代数 2 个，每个 12 分；
证明题 2 个共 30 分， 其中微积分 1 个，线性代数 1 个，每个 15 分。
Ⅲ.考查范围
第一部分 微积分
【考查目标】
1.准确识记微积分的基本知识。
2.准确理解微积分的基本概念和基本原理。
3.能够运用基本的数学知识、概念和原理解决一些简单的现实问题。
一、函数与极限
（一）映射与函数
（二）数列的极限
（三）函数的极限
（四）无穷小与无穷大
（五）极限运算法则
（六）极限存在准则，两个重要极限
（七）无穷小的比较
（八）函数的连续性与间断点
（九）连续函数的运算与初等函数的连续性
（十）闭区间上连续函数的性质（不包括一致连续性）
二、导数与微分
（一）导数概念
（二）函数的求导法则
（三）高阶导数
（四）隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
（五）函数的微分
三、微分中值定理与导数的应用
（一）微分中值定理
（二）洛必达法则
（三）泰勒公式
（四）函数的单调性与曲线的凹凸性
（五）函数的极值与最大最小值
（六）函数图形的描绘
四、不定积分
（一）不定积分的概念与性质
（二）换元积分法
（三）分部积分法
（四）有理函数的积分
五、定积分
（一）定积分的概念和性质
（二）微积分基本公式
（三）定积分的换元法和分部积分法
（四） 反常积分
六、定积分的应用
（一）定积分的元素法
（二）定积分在几何学上的应用
七、多元函数微分法及其应用
（一）多元函数的基本概念
（二）偏导数
（三）全微分
（四）多元复合函数的求导法则
（五）隐函数的求导公式
（六）多元函数的极值及其求法
八、重积分
（一）二重积分的概念与性质
（二）二重积分的计算法
（三）二重积分的应用
第二部分 线性代数
【考查目标】
1.准确识记线性代数的基本知识。
2.准确理解线性代数的基本概念和基本方法。
3.能够运用线性代数的基本知识、概念、方法解决一些问题。
一、 行列式
（一） 二阶与三阶行列式
（二） n 阶行列式的定义
（三） 行列式的性质
（四） 行列式按行（列）展开
（五） 克拉默法则
二、 矩阵及其运算
（一）矩阵
（二）矩阵的运算
（三）逆矩阵
（四）矩阵分块法
三、矩阵的初等变换与线性方程组
（一）矩阵的初等变换
（二）矩阵的秩
（三）线性方程组
四、向量组的线性相关性
（一）向量组及其线性组合
（二）向量组的线性相关性
（三）向量组的秩
（四）线性方程组的解的结构
（五）向量空间
五、相似矩阵及二次型
（一）向量的内积、长度、正交性
（二）方阵的特征值和特征向量
（三）相似矩阵
（四）对称矩阵的对角化
（五）二次型及其标准形
（六）用配方法化二次型成为标准形
（七）正定二次型 

关于微积分参考书及学习方法：

齐民友《重温微积分》：没事时可以当作消遣，可以了解一些微积分之后有哪些东西，不过可能仅能当作“科普”，虽然其严谨性不容置疑，但体系的建立基于微积分，深入展开并未讨论，不过开阔眼界的作用是达到了。齐民友有几个兄弟，从名字是分不出来的，很奇怪的事情。

项武义《微积分》：分一元和多元，繁体字 PDF 版本，可以用来用直观的观点看待微积分，也可作为消遣来读。

陈省身《微积分》或龚升《微积分五讲》：两个讲课的讲义，其中龚升的课程网上可以看到。主要体现了外微分的重要性，对于理解曲线曲面积分的统一性有重要作用。外微分和微分形式是以后课程的必备知识，这两个讲义都是通俗的讲法，开阔眼界，可以了解到什么才是微积分课程中最重要的东西。微积分基本定理为什么可以叫做基本定理，它有那些推广。流形的知识可以简单感觉一下“局部欧”。

楼红卫《微积分进阶》：在图书馆时想借一本比较薄的数学分析的例题书，就看到了这本，当初是图它薄的缘故。后来发现这本书中很多方法都非常好，而且有体系突出重点，比如导数的 Daboux 定理，还有逼近论的思想。是复旦数学竞赛的参考书，写得很好，适合整理数学分析中的经典定理及应用。公开课或视频台湾交大《高等微积分》；

第一章 行列式

　　本章的重点是行列式的计算，主要有两种类型的题目：数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算。数值型行列式的计算不会以单独题目的形式考查，但是在解决线性方程组求解问题以及特征值与特征向量的问题时均涉及到数值型行列式的计算;而抽象型行列式的计算问题会以填空题的形式展现，在历年考研真题中可以找到有关抽象型行列式的计算问题。

　　因此，广大考生在复习期间行列式这块要做到利用行列式的性质及展开定理熟练的、准确的计算出数值型行列式的值，不论是高阶的还是低阶的都要会计算;另外还要会综合后面的知识会计算简单的抽象行列式的值。

　　第二章 矩阵

　　本章需要重点掌握的基本概念有可逆矩阵、伴随矩阵、分块矩阵和初等矩阵，可逆阵与伴随矩阵的相关性质也很重要，也是需要考生掌握的。除了这些就是矩阵的基本运算，可以将矩阵的运算分为两个层次：

　　1、矩阵的符号运算

　　2、具体矩阵的数值运算

　　矩阵的符号运算就是利用相关矩阵的性质对给出的矩阵等式进行化简，而具体矩阵的数值运算主要指矩阵的乘法运算、求逆运算等。

　　第三章 向量

　　本章的重点有：

　　1、向量组的线性相关性证明、线性表出等问题，解决此类问题的关键在于深刻理解向量组的线性相关性概念，掌握线性相关性的几个相关定理，另外还要注意推证过程中逻辑的正确性，还要善于使用反证法。

　　2、向量组的极大无关组、等价向量组、向量组及矩阵秩的概念，以及它们之间的相互关系。要求会用矩阵的初等变换求向量组的极大线性无关组以及向量组或者矩阵的秩。

　　第四章 线性方程组

　　本章的重点是利用向量这个工具解决线性方程组解的判定及解的结构问题。题目基本没有难度，但是考生在复习的时候要注意将向量与线性方程组两章的知识内容联系起来，学会融会贯通。

　　第五章 特征值与特征向量

　　本章的基本要求有三点：

　　1、要会求特征值、特征向量

　　对于具体给定的数值型矩阵，一般方法是通过特征方程∣λE-A∣=0求出特征值，然后通过求解齐次线性方程组(λE-A)ξ=0的非零解得出对应特征值的特征向量;而对于抽象的矩阵来说，在求特征值时主要考虑利用定义Aξ=λξ，另外还要注意特征值与特征向量的性质及其应用。

　　2、矩阵的相似对角化问题

　　要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，但是重点是实对称矩阵的相似对角化，即实对称矩阵的正交相似于对角阵。这块的知识出题比较灵活，可直接出题，也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值λ1的特征向量确定出λ2(λ2≠λ1)对应的特征向量，从而确定出矩阵A。

　　3、相似对角化之后的应用，主要是利用矩阵的相似对角化计算行列式或者求矩阵的方幂。

　　第六章 二次型

　　二次型这一章的重点实质还是实对称矩阵的正交相似对角化问题。这一章节要求考生掌握二次型的矩阵表示，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：

　　1、化二次型为标准形

　　主要是利用正交变换法化二次型为标准型，这是考研数学线性代数的重点大题题型，考生一定要掌握其做题的基本步骤。化二次型为标准型的实质也是实对称矩阵的正交相似对角化问题。

　　2、二次型的正定性问题

　　这一知识点主要考查小题。对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象矩阵的正定性判断可以通过利用标准形，规范形，特征值等得到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。

 
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