华南理工大学

2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷

（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：量子力学

适用专业：凝聚态物理

本试卷共 5 大题，每题 30 分，总分 150 分

共 2 页

1.

(1) 对自由粒子，下面哪些力学量是守恒量，并给出证明。

(a)  动量，（b）能量，(c)  角动量，(c)  角动量平方，(d)  宇称

(2) 在变分法近似理论中，证明对任意选择的归一化试探波函数y，H 的期望值必高 于基态能量。

2.  一质量为 m 的粒子在如下势阱中运动：

V (x, y, z)=V(x)+ V(y)+ V(z)

ìï-V0     ,

V (x) = íï0,

ìï-V0      ,

V ( y) = íï0,

ìï-V0     ,

V (z) =

如果 x £ a / 2

如果 x > a / 2

如果 y £ b / 2

如果 x > b / 2

如果 z £ c / 2

íï0,

如果 z

> c / 2

求 -V0 < E < 0 下的能量本征值和本征函数。

3. 有一个定域电子，只考虑自旋，它受到均匀磁场的作用，磁场 B 指向正 x 方向。 磁作用势为

H = eB s

mc  x

= e B s , 2mc x

设 t = 0 时电子的自旋“向上”，即 s  = ，(1)  用含时薛定谔方程求 t > 0 时的波函数

z 2

c (t )；(2) 求在 c (t )

状态下自旋的三个方向分量 sx , sy , sz 的平均值。

4.  电荷为 q  的自由谐振子，能量算符为 H

 p 2  1

= + mw2 x2 ，能量本征函数记为

0 2m 2

y (0) (x),

能 量 记 为

(0)

n

。 如 外 加 均 匀 电 场 e ， 使 总 能 量 算 符 变 成

 p 2 1

H  = + mw2 x2 -qe x ，新的能级记为 E  ，本征函数记为y

(x) 。用微扰法或严

0 2m 2 n n

格解求解y n (x) 和 En ，并将y n (x) 用y n

(0)

(x) 表示出来。

5. (a) 写出两个无相互作用的全同费米子处于 0 £ x1 £ a, 0 £ x2 £ a 的无限深方势阱

时的哈密顿量。(b)不考虑自旋，给出系统基态，第一激发态和第二激发态的波函数， 能量本征值，并确定其简并度。

（已知单粒子态为y

(x) sin æ np x ö,  E = ）