海南大学硕士研究生入学考试

《829-高等代数》考试大纲

一、考试性质

海南大学硕士研究生入学考试初试科目。

二、考试时间

180分钟。

三、考试方式与分值

闭卷、笔试。满分150分。

四、考试内容

第一章 多项式

第一节-第三节：数域、一元多项式、 多项式整除的概念及性质；

第四节：最大公因式，多项式互素的概念及性质，不可约多项式的概念及性质；

第五节：因式分解定理；

第六节：重因式、重根的判别；

第七节-第九节：多项式函数与多项式的根，有理根的求法，艾森斯坦因判别法。

第二章 行列式

第一节-第三节：排列、 行列式的定义；

第四节：行列式的性质；

第五节：行列式的计算；

第六节：行列式按行（列）展开；

第七节：Cramer法则。

第三章 线性方程组

第一节-第四节：消元法解线性方程组，向量组线性相关（无关）的概念、性质及判定定理；向量组的极大线性无关组的概念、性质，向量组之间秩的大小关系、矩阵的秩；

第五节-第六节：线性方程组有解的判别定理、齐次线性方程组有非零解的条件、基础解系的计算与性质、齐次线性方程组的通解，非齐次线性方程组的解法和解的结构。

第四章 矩阵

第一节-第三节：矩阵的概念与运算，矩阵乘积的行列式与秩；

第四节-第五节：逆矩阵概念、性质、矩阵可逆的条件，伴随矩阵及其性质、求逆矩阵的公式法，分块矩阵（包括矩阵乘法的常用分块方法并证明与矩阵相关的问题），几种特殊矩阵的性质（如准对角阵，对称矩阵与反对称矩阵，伴随矩阵、正交矩阵等）；

第六节-第七节：矩阵的初等变换与初等矩阵的关系及其应用，矩阵的等价标准形、初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵，分块矩阵的初等变换及应用。

第五章 二次型

第一节-第二节：二次型的概念及二次型的矩阵，化二次型为标准形和规范形，矩阵合同的概念与性质；

第三节：实二次型的规范型、正（负）惯性指数、符号差，惯性定律及应用；

第四节：正定、半正定矩阵(二次型)的概念，矩阵（二次型）是正定、半正定矩阵(二次型)的判定定理。

第六章 线性空间

第一节-第二节：线性空间的定义及性质；

第三节-第四节：线性空间中一个向量组的秩，线性空间的基与维数，基扩充定理，维数公式，基变换与坐标变换；

第五节-第八节：子空间的概念、判定定理、一组向量的生成子空间，子空间的交、和与直和的概念及相关判定定理，一些常见的子空间。

第七章 线性变换

第一节-第二节：线性变换的定义与运算；

第三节：线性变换与n阶矩阵的对应定理，线性变换在不同基下的矩阵的关系，矩阵相似的概念及性质；

第四节-第五节：矩阵的特征多项式及其有关性质，特征子空间，求线性变换在给定基下的矩阵和特征值以及特征向量的方法，线性无关的特征向量的判别及最大个数，实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，线性变换（包括矩阵）可对角化的判定定理；

第六节-第七节：线性变换的核与值域、线性变换的零度与秩的概念与相关定理、不变子空间。

第八章 欧氏空间

第一节-第三节： 内积和欧氏空间的定义及简单性质。度量矩阵与标准正交基的求法以及性质，正交矩阵的概念、性质，有限维欧氏空间同构的概念、判定定理；

第四节-第五节：线性变换是正交变换的定义及充要条件，子空间的概念，子空间正交的概念与性质，子空间正交、正交补的概念及相关定理；

第六节：实对陈矩阵的概念及性质，对称变换的定义与性质，对实对称矩阵A求正交矩阵T使成对角形（用正交线性替换将实二次型化为平方和）；

第七节：向量到子空间的距离、最小二乘法。