2022年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲

科目代码：F0205 科目名称：离散数学

一. 考试要求

主要考察学生对离散数学中集合、关系、函数、图论、命题逻辑、一阶谓词逻辑、推理系统、布尔代数等计算机数学的基本概念、计算和证明方法的理解与掌握情况，以及应用上述概念和方法进行应用问题离散建模、计算求解和逻辑推理的能力。注重概念的深入理解、知识的综合运用，以及现实问题分析和解决。

二、考试内容

1. 逻辑和证明基础

命题、逻辑联接词、真值表、位操作和位串、命题符号化及应用、逻辑等价和蕴含、命题可满足性及应用、谓词、量词、量词表达式等价及否定、嵌套量词、谓词逻辑符号化、推理规则、归结、逻辑证明、证明方法、证明策略、逻辑语义。要求熟练掌握命题逻辑和谓词逻辑的基本概念，掌握逻辑等价和蕴含分析方法，掌握逻辑推理方法和证明方法，能够熟练运用命题逻辑和谓词逻辑求解逻辑问题，了解可满足性问题。

2. 基本结构：集合、函数、序列、求和

集合基本概念、集合描述方法、常见集合、集合相等、属于、子集、空集、幂集、集合的基数、n元组、笛卡尔乘积、集合运算（交、并、差、补）、集合恒等式、广义交、广义并、集合的计算机表示、（全）函数、函数算术、1对1函数、1-1对应、内射、满射、双射、函数运算（逆函数、函数的合成）、若干重要函数、部分函数、序列、算术级数、几何级数、递推关系、一些特殊序列、累加、基数比较关系（=，³，£，<, >）、可数集、不可数集、基数关系证明。要求熟练掌握集合的基本概念、集合的运算；熟练掌握函数、函数的运算及其证明；熟练掌握级数、累加；掌握基数比较和函数的关系、可数集。

3. 归纳和递归

数学归纳法原理、数学归纳法运用、强归纳法原理、强归纳法运用、良序性质、递归定义函数、归纳定义法、递归定义的集合和结构、结构归纳法、结构归纳法的运用、广义归纳法、递归算法、递归算法正确性证明、递归和迭代。要求熟练掌握数学归纳法、强归纳法和结构归纳法，能够熟练运用归纳定义法；掌握递归和递归算法的基本概念，能够较熟练编写递归算法；了解递归算法正确性证明。

4. 关系

二元关系基本概念、关系与函数、二元关系的性质（自反、对称、反对称、传递）及其证明、关系的运算、n-元关系基本概念、n-元关系的运算、关系与数据库、关系的表示（关系矩阵、关系图）、关系的闭包、等价关系、等价类、划分、偏序、全序、良序归纳原理、哈斯图、最大（小）元、极大（小）元、上（下）界、上（下）确界、格、拓扑排序。要求熟悉集合、关系和函数的关联关系；掌握关系的性质判定和运算；熟悉关系与关系数据库的关系；掌握等价关系、序关系，能够证明相关性质；了解格和拓扑排序。

5. 图

图的基本概念、图模型、图的基本术语和特殊类型图、二部图和匹配、图的应用、图的运算、图的表示、图同构、路径和连通性、欧拉路径和哈密顿路径及其应用、最短路径算法、平面图及其应用、欧拉公式、库拉托瓦斯基定理、图的着色问题。要求熟悉图的基本概念和术语；掌握最短路径算法；熟悉路径和连通性；较熟练掌握图的性质证明；较好掌握二部图和平面图。

6. 树

树的基本概念和术语、树建模、树的性质及其证明、树的应用、二叉树、树的遍历算法、树的编码、生成树、最小生成树、回溯。要求熟悉树的基本概念；掌握树的算法和性质证明；能够使用树进行建模和应用；掌握各种树的遍历算法；掌握回溯法。

7. 布尔代数

布尔函数、布尔表达式、布尔代数恒等式、对偶、布尔代数定义、范式展开、逻辑门、电路、电路极小化。要求掌握布尔表达式变换方法；熟悉布尔代数与电路的关联关系；了解布尔代数。

三、考试形式

考试形式为闭卷、笔试，考试时间为1.5-2.0小时，满分100分。

题型包括：计算题、证明题、分析题、推理题等。

四、参考书目

1.Discrete Mathematics and Its Applications(7th edition), Kenneth H. Rosen, ISBN:978-0-07-338309-5, McGraw-Hill, 2012.

2.《离散数学》，王兵山、张强、毛晓光主编，国防科技大学出版社，2001.